미래 예측에 관한 논증

이 글에서는 미래를 정확히 예측하는 것이 왜 불가능한지에 대해 설명할 것이다.

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결정론적 우주

상기했듯 이 논증에서는 우주가 결정론적인 경우를 다룬다. 이때 결정론적이라는 말은 우주의 미래가 정해져있다는 의미이다. 주의해야 할 것은 그것이 미래를 예측할 수 있게 해 주지는 않는다는 점이다.

우주가 무작위성이 전혀 없는 물리 법칙을 따라 움직인다면, 즉 시간에 따른 우주가 마르코프 체인이라면, 우주는 당연히 결정론적이다. 그러나 우주가 결정론적이라 해서 우주에 무작위성이 존재하지 않는다는 것은 아니다.

예를 들어 소설이나 영화를 생각해보자. 소설이나 영화는 자명히 그 결말이 정해져있다. 그러나 소설을 아무리 자세히 읽는다 하더라도 소설을 끝까지 읽기 전까지는 소설의 결말을 예측할 수 없다. 물론 소설의 앞부분과 뒷부분에 어느정도의 개연성이 있을 것이므로 소설의 결말을 예측할 수는 있겠지만, 그 결말이 절대로 100% 맞아떨어진다고는 말할 수 없을 것이다.

우주도 이와 같다. 만약 우주가 결정론적이라서, 우주의 시작부터 종말까지의 역사가 이미 정해져있다고 하더라도, 그것이 현재를 살아가는 우리가 미래를 예측할 수 있다는 의미는 아니다.

우주에 무작위성이 없음 → 우주는 결정론적임 (O)

우주는 결정론적임 → 우주에 무작위성이 없음 (X)

논증의 전제

우주는 결정론적이다. 즉, 우주의 시작부터 종말까지의 모든 내용은 사실 이미 정해져있으며, 이를 바꿀 수는 없다.
아인슈타인의 상대론은 고려하지 않기로 한다. 이 논증에 등장하는 모든 공간은 등속좌표계이며 충분히 국소적이고 상대론적인 속도로 움직이지 않는다.
우주의 허블 팽창 등도 고려하지 않는다. 우주는 정적이다.

논증

먼저 전제 2에 따라 우주 전체에 시간이 균일하게 흐른다고 가정하자. 이때, 시각 $t$ 에서 우주의 상태 벡터를 $f(t)$ 라 하자. 이때 $f(t)$ 는 우주의 모든 정보를 완벽하게 서술한다. 단순한 예를 들자면 우주에 있는 모든 입자의 위치, 질량, 전하, 속도를 모두 일렬로 늘어놓은 벡터라고 가정할 수 있다.

만약 어떤 미래의 정보를 정확히 예측할 수 있다고 가정하자. 즉, 어떤 시각 $t$ 에서 시각 $t+\alpha$ (단 $\alpha>0$ )인 우주의 정보의 일부를 예측할 수 있다는 의미이다. 그러므로 시각 $t$ 의 우주의 정보 중 일부가 시각 $t+\alpha$ 의 우주의 정보와 연관되어있다. 이러한 연관을 $g$ 라 하자. 그러므로 $g(f(t),f(t+\alpha))=0$ 이라 할 수 있다. 이때 함수는 $g$ , $f$ 로 두 개인데 식은 하나이다. 그러므로 $g$ , $f$ 중 하나는 마음대로 결정해도 문제가 없으나 둘 다 마음대로 결정할 수는 없다.

즉, 우주를 결정해버리면 미래를 예측할 수 있는 방법이 제한되고, 미래를 예측할 수 있는 방법을 선택한다면 우주가 제한된다.

엄밀하고 비현실적인 예시

어떤 기계와 버튼과 전등으로 이루어진 우주를 생각하자. 이 우주는 매우 단순해서, $t=0$ 이거나 $t=1$ 이다. 그리고 이 기계는 오직 버튼을 누르고 있거나 누르고 있지 않으며 전등은 켜져 있거나 꺼져 있다. 그 중간은 없다. 그러므로 이 우주는 $[\text{기계의 상태}, \text{전등의 상태}]$ 형태의 벡터로 표현할 수 있다. 기계가 버튼을 누르고 있고, 전등이 켜져 있는 상태를 1, 아닌 경우를 0이라 하자. 예를 들어 기계가 버튼을 누르고 있고 전등이 꺼져있는 경우 이 우주는 $[1,0]$ 으로 표현할 수 있다.

이때, 이 전등이 미래를 예지한다고 가정해보자. 즉, $t=1$ 에서 기계가 버튼을 누른다면 $t=0$ 일 때 전등에 불이 들어오고, $t=1$ 일 때 버튼을 누르지 않는다면 전등에는 불이 들어오지 않는다. 즉, 이런 경우 가능한 우주는 아래와 같다.

그러므로 이 경우 $g$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$g(s_a,s_b)=s_a\cdot[0,1]-s_b\cdot[1,0]$

이때 연산 $\cdot$ 은 일반적인 내적이다.

그런데 이때 이 기계가 청개구리같은 기계라고 가정하자. 즉, 이 기계는 $t=0$ 에서 전등이 켜져있다면 $t=1$ 에서 버튼을 누르지 않고, $t=1$ 에서 전등이 꺼져있다면 $t=1$ 에서 버튼을 누른다. 이렇게 될 경우 $f(1)\cdot[1,0]=1-f(0)\cdot[0,1]$ 이므로 $f$ 에 대해 정리해보면 $f(0)\cdot[0,1]+f(1)[1,0]=1$ 이다.

이제 $s_a,s_b$ 에 $f(0),f(1)$ 을 대입하자. 그러면 $f(0)\cdot[0,1]-f(1)\cdot[1,0]=0$ 을 얻는다. 그런데 두 식을 더하면 $2f(0)\cdot[0,1]=1$ 이므로 $f(0)\cdot[0,1]=1/2$ 라는 결론을 얻는다. 그런데 앞서 가정에서 모든 변수는 $0$ 아니면 $1$ 이라고 하였으므로 이는 모순이다.

이는 이 벡터의 체(field)가 ${0,1}$ 이라 가정하면 모순임이 더욱 확실하다. 왜냐하면 이런 경우 덧셈과 뺄셈이 서로 같은 연산이므로 위의 두 식은 아래와 같이 변한다.

$f(0)\cdot[0,1]+f(1)[1,0]=1\\ f(0)\cdot[0,1]+f(1)[1,0]=0$

이는 곧 $0=1$ 과 동치이므로 거짓임이 분명하다.

이로부터 두 가지 결론을 얻을 수 있다.

만약 청개구리 기계가 존재한다면, 전등은 미래를 예측할 수 없다.
만약 전등이 미래를 예측할 수 있다면, 청개구리 기계는 존재할 수 없다.

이는 앞서 언급한 내용의 구체적인 예시다.

우주를 결정해버리면 미래를 예측할 수 있는 방법이 제한되고, 미래를 예측할 수 있는 방법을 선택한다면 우주가 제한된다.

엄밀하지 않지만 현실적인 예시

어떤 방이 있다. 이 방은 딱 한 사람만 들어올 수 있는 크기다. 그런데 이 방에는 전등이 하나 있는데, 위의 예시와 비슷하게, 다음과 같은 방법으로 미래를 예측한다.

사람이 들어와서 방문을 닫는 순간, 전등은 미래를 예측하여 꺼지거나 켜진다.
만약 5초 뒤까지 사람이 그 방에 그대로 있다면(그동안 방문을 열지 않고) 전등은 켜진다.
문을 닫은 후 5초 안에 사람이 그 방에서 나가거나, 한 번이라도 방문을 열게 되면 전등은 켜지지 않는다.

이때 어떤 청개구리같은 사람이 있다. 이 사람은 다음과 같이 행동하기로 결정했다.

만약 전등이 켜진다면 문을 열고 나간다. 혹시 밖에서 누가 문을 막을 경우를 대비하여, 문을 강제로 열수 있는 특수 장비를 장치하고 방에 들어가기로 한다.
만약 전등이 꺼진다면, 절대 문이 열리지 않도록 문을 걸어잠근다. 문을 닫기 전에 이미 문에는 강력 자물쇠를 설치해둬서, 문을 닫고 나서 전등이 꺼지는 것을 보자마자 문을 걸어잠글 수 있도록 한다.

이 경우, 이 사람이 방에 들어가서 문을 닫는 데에 성공한다면 다음과 같은 4가지 경우가 있을 수 있다.

불이 꺼졌지만 이 사람은 방 안에서 나가지 않았다. 즉, 전등이 미래를 예측하는 데에 실패했다.
불이 켜졌지만 이 사람은 방을 나갔다. 즉, 전등이 미래를 예측하는 데에 실패했다.
불이 꺼졌고 이 사람은 방을 나가려고 했으나 나가지 못했다. 즉, 이 사람은 목적을 이루는 데에 실패했다.
불이 켜졌고 이 사람은 방에 가만히 있으려고 했으나 나가게 되었다. 즉, 이 사람은 목적을 이루는 데에 실패했다.

1,2와 같은 경우는 우주가 결정되어 미래를 예측할 수 있는 방법이 제한되는 경우이다.

3,4와 같은 경우는 미래를 예측할 수 있는 방법이 결정되어 우주가 제한되는 경우이다.

어떤 사람들은 만약 진짜로 저런 방이 존재한다면 3,4와 같은 일이 벌어질 것이라 말할 수도 있다. 예를 들어 방을 나가려고 했지만 갑자기 심장마비가 걸려 방을 나갈 수 없는 경우이다.

그러면, 이번에는 이런 청개구리같은 사람을 1000명이나 데려와서 똑같은 실험을 시킨다고 가정해보자. 그리고 전등이 미래를 예측하는 데에 성공했다고 가정해보자. 그럴 경우, 그 1000명에게는 전부 기상천외한 일이 일어나서, 나가려고 했지만 나가지 못하게 되거나, 나가지 않으려고 했지만 강제로 나가게 되거나, 아니면 애초에 방에 들어가지도 못하게 된다.

상식적으로 이런 일은 벌어지지 않을 것임을 알 수 있다. 물론 실험을 좀 더 엄밀하게 구성하면

미래를 예측할 수 있다면 물리 법칙에 위배되던가
아니면 실험 자체를 할 수 없게 되도록 실험을 구성할 수도 있다.

반례

물론 이럴 수도 있다.

만약 그런 방이 두 개 있어서, 이번에는 한쪽 방의 전등이 다른 쪽 방의 상태를 예측한다.
그런데 이 두 방 사이의 거리가 광속으로 10초가 걸리는 거리에 떨어져 있어서, 절대로 5초 안에 두 방 사이에 정보가 오갈 수 없다.

이런 경우에는 사실 위와 같은 모순이 발생하지 않는다. 그러나 한 방에서 다른 방의 정보를 알기 위해서는 적어도 10초 이상을 기다려야 하는데, 이게 미래를 예측하지 않은 것과 아무런 차이가 없다. 예를 들어, 그냥 방 밖에서 관찰한 사람이, 방문이 열리는지를 보고 전등을 켜고 끄는 것과 아무런 차이가 없다.

결론

결정론적 우주에서는 미래로부터 정보를 가져올 수 없다. 물론 물리 법칙 등으로 미래를 예측할 수는 있겠지만, 이건 추측일 뿐이며 실제로 미래의 정보를 가져온 것은 당연히 아니다.
미래의 사건을 알 수 있다 하더라도, 그 사건이 일어나기 전에 그 정보를 아는 것은 불가능하다.
비결정론적인 우주는 말 그대로 비결정론적이므로 애초에 정해진 미래라는 것이 존재하지 않는다. 미래로부터 정보를 가져올 수도 없다.
그러므로 미래를 추측하는 것은 가능할지 몰라도, 실제로 미래에서 정보를 가져오는 것은 불가능하다.
테넷이나 소설 exhalation에 나오는 것과 같은 미래 예측이 가능할 일은 발생하지 않는다.