특수한 시스템

원래는 3편에서 글을 마무리하려고 했는데, 생각해보니 안 다룬 것이 있었습니다. 바로 시스템이 라그랑주 역학으로 쉽게 다룰 수 없는 경우입니다. 우리가 저번까지 다뤘던 시스템들은 전부 미분가능한 시스템이었습니다. 그러나 실제로는 시스템이 미분 불가능한 경우가 훨씬 많습니다. 이런 경우에는 어떻게 하면 좋을까요?

불연속적인 시스템

가장 대표적인 예는 불연속적인 시스템입니다. 예를 들어, 가장 간단한 경우로 공이 벽에 부딛혀 튕겨나오는 충돌을 생각해보면 그 경로에는 충돌 시 첨점이 생기므로 미분불가능한 경로가 됩니다.

범위가 주어진 시스템

다른 경우로, 시스템의 범위가 주어진 경우가 있습니다. 예를 들어, 이전 포스트에서 다루었던 진자는 각도가 자유롭습니다. 그래서 진자가 고정된 그 점보다 높은 좌표로도 올라갈 수 있습니다. 그러나 예를 들어, 진자가 움직일 수 있는 각도에 제한을 두어서 진자가 특정 각도 이내에서만 진동하기를 원할 수도 있습니다. 대표적으로 천장에 줄을 달아 놓은 경우, 진자가 천장을 뚫지 않는 한 -90도에서 90도까지만 진동할 수 있습니다.

구속력이 한 방향인 시스템

마지막으로 구속이 단방향인 경우도 있습니다. 커다란 반구 꼭대기에서 작은 구를 굴러 미끄러트립니다. 그럴 경우 이 작은 구는 처음에는 큰 구의 표면을 따라서 구르다가, 어느정도 경사가 가팔라지면 그때부터는 구면을 벗어납니다.

해결 방법

위 단락에서는 이해를 돕고자 여러 예시를 들어 놨지만, 실은 모두 한 가지로 설명할 수 있습니다. 바로 시스템이 불연속적인 퍼텐셜을 가지는 경우입니다. 예를 들어 공이 바닥에서 튀는 경우를 생각해봅시다. 이 경우 공은 공중에서는 중력에 의한 ( $mgh$ 로 표현되는) 퍼텐셜을 가집니다. 그러나 공이 바닥보다 아래에 있는 경우에는 이론상 무한대의 퍼텐셜을 가지게 되므로, $h=0$ 에서 퍼텐셜이 불연속적인데다 발산하게 됩니다.

이런 경우를 해결하기 위해서는 크게 두 가지 방법이 있습니다.

연속적인 척 하기

첫 번째는 그냥 시스템이 연속적인 척 하는 것입니다. 예를 들어 공이 바닥에 튕기는 경우, 공이 크기가 없는 입자이고 바닥이 강체일 경우 $h=0$ 에서 시스템이 불연속입니다. 그러나 현실을 약간 반영해서 바닥이 강체가 아니라 탄성계수가 매우 큰 탄성체라고 가정하면, $h=0$ 에서 시스템이 빠르게 증가하기는 하나 불연속은 아닙니다. 그러므로 다음과 같이 퍼텐셜을 줄 수 있습니다.

$U=mgh+e^{-\beta h}$

이때 $\beta$ 는 적당히 큰 값으로 줍니다. 경험상 4~6정도면 나쁘지 않았습니다. 이렇게 하면 $h>0$ 에서는 거의 $mgh$ 가 되고, $h<0$ 에서는 빠르게 발산하므로 우리가 원하는 퍼텐셜을 만들 수 있습니다.

그리고 0에서 빠르게 증가하는 함수는 $\beta/h^2$ 등 여러 함수가 있으므로 적당한 함수를 가져다 써도 아무런 문제가 없습니다. 제가 $e^{\beta h}$ 라는 함수를 선택한 이유는 제가 인터넷에서 본 레퍼런스에서 이 함수를 사용했기 때문입니다. 그 레퍼런스에서 이 함수를 쓴 이유는 아마도

함수가 미분하기 쉬운데다
Floating point error등에 영향을 적게 받고
오차에 좀 덜 민감해서

가 아닌가 싶습니다. 예를 들어 $1/h^2$ 이라는 함수를 썼다면, 수치해석을 통해 시뮬레이션을 하다 오차로 인해 $h<0$ 이 되는 순간 바닥을 뚫고 아래쪽으로 떨어질 것입니다. 아래는 이 방법을 사용하여 2차원 퍼텐셜 우물을 구현한 예제입니다.

일반화 힘을 사용하여 분석하기

다른 방법은 일반화 힘을 사용하는 것입니다. 그런데 일반화 힘을 사용한 분석 방법은 이것만으로도 포스팅 하나를 쓸 수 있을 만큼 분량이 깁니다. 때마침 ~~나무위키~~(...)에 그 내용이 상세하게 잘 나와있습니다. 그래서 나무위키의 구속력이 있는 경우의 오일러-라그랑주 방정식 풀이 단락을 참조하시면 좋을 것 같습니다.