중학교~고등학교쯤 해서 허수가 무엇인지 배웁니다. 허수는 실수를 제곱근 연산에 대해 확장한 것으로 생각할 수 있습니다. 그런데 오늘 자려다가 뜬금없이 비슷한 방식으로 다른 숫자 시스템을 만들면 안되나? 하는 생각이 들었습니다. 물론 사원수, 팔원수 등의 다른 수 체계를 이미 수학자들이 만들어놨습니다. 그리고 천재 수학자들이 허수가 나온 이후로 이 생각을 많이 해 봤을 텐데, 그래도 그 외에 마땅한 체계가 안 나왔다는 것은 해 봤자 안 된다는 의미임이 분명합니다. 그러나 안 된다면 왜 안 되는지 궁금해서 직접 한 번 해 봤습니다.

새로운 수 체계

먼저 기존 연산에서 정의되지 않는 어떤 수를 생각한 후, 그것을 포함하는 새로운 수 체계를 만들어보겠습니다.

모든 정수 $x$에 대하여 $x\times p=x+1$이 되는 수 $p$

예를 들어, $2p=3$이고 $3p=4$입니다. 이 수 시스템은 언듯 생각하기에 뭔가...정의가 잘 되는 것처럼도 보입니다. 예를 들어서

• $2p^2=(2p)p=3p=4$와 같이 거듭제곱을 정의할 수도 있고
• $2/p=x\leftrightarrow2=px\leftrightarrow 2=x+1\leftrightarrow x=1$과 같이 역수를 정의할 수도 있으며
• $2\sqrt p=\sqrt{2^2p}=\sqrt{5}$와 같이 제곱근을 정의할 수도 있습니다.
• $4^p=(2^2)^p=2^{2p}=2^3=8$과 같이 지수도 정의가 됩니다.

그런데 아마 제곱근 즈음에서 이상함을 느끼셨을 수도 있겠습니다만, 이 수 체계는 여러가지 중요한 성질들을 만족시키지 않습니다.

• $(1+1)p=2p=3\not=1p+1p=2+2=4$이므로 분배법칙을 만족시키지 못합니다.
• $2\times1\times p=(2\times1)\times p=2p=3\not=2\times(1\times p)=2\times2=4$ 이므로 결합법칙 또한 만족시키지 못합니다.

그러므로 이러한 수는 기존의 수 체계에는 적용할 수 없습니다.

$1/0=p$,즉 $0p=1$이 되는 수 $p$

사실 이것은 극한을 처음 배우면 나오는 단골 질문인 "$1/0=\infin$로 정의하면 안 되나요?"를 적당히 표현한 것에 불과합니다.

• 일단 이것 역시 더하기나 빼기에서는 큰 문제가 발생하지 않습니다. 그냥 미지수처럼 취급하면 되기 때문입니다.
• 곱하기 역시 마찬가지로, 미지수처럼 취급한 후 0과 곱해지거나 할 때에만 신경을 좀 써 주면 됩니다.

하지만 이것 역시 분배법칙을 만족시키지 않습니다.

• $(0+0)p=(0)p=1\not =0p+0p=1+1=2$ 이므로 분배법칙을 만족시키지 못합니다.

결론

이러한 몇 가지 실험으로부터 이상한 수를 대충 정의하는 방법으로는 유용한 수 체계를 만들수 없으며, 허수는 참 잘 만든, 혹은 발견된 수 체계라는 것을 알 수 있었습니다.