dx란 무엇인가?

수학에서 미분을 다음과 같이 표현한다.

$$\frac{df}{dx} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

이러한 관점에서는 $d/dx$가 하나의 연산자로 작용하는 것처럼 보이며, 이것을 $dx$와 $dy$로 따로 분리하여 생각하는 것은 말이 되지 않는다. 그런데 때로는 이러한 표기가 등장하기도 한다.

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$

또는 미분방정식을 풀 때 다음과 같은 방법을 사용하기도 한다.

$$\frac{dy}{dx} = f(x)\\ \therefore dy = f(x)dx\\ \therefore y = \int f(x)dx$$

이런 측면에서 $dx$와 $dy$는 일종의 실수 값을 가지는, 일반적인 사칙연산을 적용해도 되는 변수로서 사용되는 것처럼 보인다.

그래서 구체적으로 $dx$, $dy$가 무엇인지 궁금해졌다. 그래서 이것이 무엇인지를 조사했다.

구조

본문은 다음과 같은 구조로 구성되어있다.

범함수(Functional)

범함수는 분야에 따라 그 정의가 조금씩 다른데, 일반적으로는 공간 $X$에서 그 공간의 field $F$로의 함수를 말한다. 즉, $f: X \to F$이다. 그러므로 $\mathbb{R}^n$ 벡터공간을 다룰 때 범함수는 벡터를 실수에 대응시키는 함수다. 예를 들어 함수 $f(v)=|v|$는 범함수이다.

범함수의 특수한 경우로 함수의 집합 위에 범함수를 정의할 수 있다. 이 경우 범함수는 함수를 하나의 실수에 대응시키는 함수다. 예를 들어 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해 $f \mapsto f(0)$는 범함수이다.

쌍대공간(Dual Space)

벡터공간 $V$의 쌍대공간 $V^*$은 $V$의 선형범함수들의 집합으로 정의한다. 그런데 벡터 공간의 선형함수, 즉 선형변환은 곧 행렬이다. 그리고 범함수는 벡터를 스칼라에 대응시키므로 이것은 $n\times1$행렬, 즉 원래 벡터와 같은 크기의 벡터로 생각할 수 있다. 그러므로 벡터공간의 쌍대공간은 원래 벡터공간과 같은 크기를 가지는 벡터들로 이루어진 벡터공간이 된다.

쌍대공간의 기저(Dual Basis)

벡터공간 $V$의 기저 $\{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$에 대해 집합 $\{u_1, u_2, \cdots, u_n\}$을 다음과 같이 정의하자.

$$u_i(v_j) = \delta_{ij}$$

즉, $u_i$는 $v_i$에 대해 1을, 그 외의 다른 기저 벡터에 대해 0을 대응시키는 선형 범함수다. 다르게 말하자면 이것은 벡터를 기저 $v_i$의 성분으로 대응시키는 함수다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.

$$\begin{align*} v &= \sum_{i=1}^n v_i c_i\\ \therefore u_i(v) &= u_i\left(\sum_{j=1}^n v_j c_j\right) = \sum_{j=1}^n c_j u_i(v_j) = c_i\\ \therefore v &= \sum_{i=1}^n v_i u_i(v) \end{align*}$$

그러므로 임의의 선형 범함수 $f$에 대해

$$f(v) = f\left(\sum_{i=1}^n v_i u_i(v)\right) = \sum_{i=1}^nf(v_iu_i(v)) = \sum_{i=1}^nf(v_i)u_i(v)$$

이므로 $f$는 $u_i$의 선형결합으로 표현된다. 또한 이로부터

$$f(v) = \sum_{i=1}^nc_iu_i(v)$$

라고 할 때

$$f(v_i) = \sum_{j=1}^n c_j u_j(v_i) = c_i$$

이므로

$$f = 0 \iff f(v_i) = 0 \iff c_i = 0$$

이다. 따라서 $u_i$는 선형 독립이며, $V^*$의 기저가 된다.

단 이는 기저가 유한한 경우에만 성립한다. 무한차원의 경우에는 이것이 성립하지 않는다.

텐서(Tensor)

텐서는 쌍대 공간을 일반화한 것이다. 쌍대 공간에서 그 원소인 선형 범함수는 하나의 벡터를 스칼라에 대응시키는 함수였다면, 텐서는 여러 벡터를 스칼라에 대응시키는 다중 선형 사상(multilinear map)이다. 즉, 텐서는 다음과 같이 정의된다.

$$T: V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n \to F$$

이때 $n$을 텐서의 계수, 또는 차수(rank)라 한다.

더 엄밀하게는, 텐서는 벡터 공간에 대하여 $l$개의 쌍대 벡터와 $m$개 벡터에 대한 다중 선형 사상으로 정의되며 이를 $(l, k)$-텐서라 한다.

$$T: \underbrace{V^* \times V^* \times \cdots \times V^*}_{l} \times \underbrace{V \times V \times \cdots \times V}_{m} \to F$$

텐서 공간의 기저

텐서의 집합은 벡터공간을 이룬다. 따라서 텐서 공간에 기저를 줄 수 있다.

텐서곱(Tensor Product)

텐서곱은 두 텐서 $T_1: V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n \to F$와 $T_2: W_1 \times W_2 \times \cdots \times W_m \to F$에 대해 다음과 같이 정의되는 $n+m$차 텐서다.

$$T_1 \otimes T_2(v_1, v_2, \cdots, v_n, w_1, w_2, \cdots, w_m) = T_1(v_1, v_2, \cdots, v_n)T_2(w_1, w_2, \cdots, w_m)$$

교대 텐서(Alternating Tensor)

교대 텐서는 벡터의 순서를 바꾸었을 때 그 부호가 바뀌는 텐서를 말한다. 즉, $k$차 텐서 $T$에 대하여, 임의의 $i, j$ (단 $i \neq j, 1 \leq i, j \leq k$)에 대해 다음이 성립하면 $T$는 교대 텐서다.

$$T(\cdots, v_i, \cdots, v_j, \cdots) = -T(\cdots, v_j, \cdots, v_i, \cdots)$$

교대화(Alternation)

임의의 $k$차 텐서 $T$에 대해, $T$를 교대 텐서로 만드는 연산을 교대화라 한다. 교대화는 다음과 같이 정의된다.

$$Alt(T)(v_1,\cdots,v_k) = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_k} \text{sgn}(\sigma)T(v_{\sigma(1)}, v_{\sigma(2)}, \cdots, v_{\sigma(k)})$$

이때 $S_k$는 $k$개의 원소를 가지는 대칭군이다. 대칭군이란 집합에 대하여 그 전단사함수의 집합을 말한다. 다르게 말하면, $S_k$는 $k$개의 원소를 가지는 모든 순열의 집합이다. 그러므로 대칭군의 크기는 $k!$이다. 순열에서 두 원소의 순서를 바꾸는 것을 교환이라 하며, 원래의 순서대로 순열을 바꾸는 데 짝수번의 교환이 필요하면 이 순열의 부호는 양수, 홀수번의 교환이 필요하면 음수다. 이것을 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$$\text{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{number of transpositions in }\sigma}$$

쐐기곱(Wedge Product)

교대 텐서의 텐서곱을 하면 그 결과는 교대 텐서가 아니다. 그러므로 교대 텐서는 텐서곱에 대해서는 닫혀있지 않으며, 따라서 교대 텐서의 공간을 정의할 수 없다. 이에 따라 교대 텐서에 대해 닫혀있게 되는 연산을 정의할 필요가 있으며, 이에 따라 다음과 같이 쐐기곱을 정의한다.

$$T_1 \wedge T_2 = \frac{(n+m)!}{n!m!}Alt(T_1 \otimes T_2)$$

쐐기곱에 대해 다음 성질이 성립한다.

• $T_1 \wedge T_2 = (-1)^{nm}T_2 \wedge T_1$
• $T_1 \wedge T_2 = 0 \iff T_1 \otimes T_2 = 0$

외대수(Exterior Algebra)

외대수란 벡터 공간에 대하여 그 벡터들의 반대칭 조합 및 그 위에 정의된 이항 연산을 가지는 대수적 구조를 말한다. 교대 텐서와 쐐기곱은 외대수의 예시이다.

위상(Topology)

위상이란 집합 위에 어떤 점과 그 근방에 대한 정보를 가진 구조를 부여하는 것이다. 위상은 다양한 방식으로 정의될 수 있다. 그중 열린집합을 사용한 정의는 다음과 같다.

• 공집합과 전체집합은 열린집합이다.
• 유한개의 열린집합의 교집합은 열린집합이다.
• 임의의 열린집합의 합집합은 열린집합이다.

즉, 위상 자체를 열린 집합을 통해 정의하기 때문에 열린 집합은 무정의 용어이다. 다르게 말하면 어떤 집합이 열린 집합인지 닫힌 집합인지는 위상에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어 일반적인 실수 위상에서 열린집합은 다음과 같이 정의된다.

• $\forall x \in A, \exists \epsilon > 0 \text{ s.t. } (x-\epsilon, x+\epsilon) \subset A$

이 경우 정수 집합 $\mathbb{Z}$은 열린집합이 아니다. 왜냐하면 정수 $x$에 대해, 그 어떤 $\epsilon>0$에 대해서도 $(x-\epsilon, x+\epsilon)$는 정수 집합의 부분집합이 아니기 때문이다.

그러나 정수 집합이 열린집합이 되도록 위상을 정의하면, 예를 들어서 이산 위상과 같은 경우, 정수 집합은 열린집합이 된다.

근방(Neighborhood)

위상공간 속에서 점 $x$에 대한 근방이란 $x$를 포함하는 열린집합을 부분집합으로 가지는 집합을 말한다. $x$의 열린 근방이란 $x$를 포함하는 열린집합을 말한다. 실수 공간 $\mathbb{R}$에서 $x$의 열린 근방은 $(x-\epsilon, x+\epsilon)$와 같은 구간이다.

하우스도르프 공간(Hausdorff Space)

하우스도르프 공간은 서로 다른 두 점을 겹치지 않는 열린 근방으로 둘러쌀 수 있는 공간이다. 조금 더 구체적으로는 임의의 서로 다른 두 점 $x, y$에 대해 $x\in U, y\in V, U\cap V = \emptyset$인 열린집합 $U, V$가 존재하면 그 공간은 하우스도르프 공간이다.

예를 들어 실수 공간 $\mathbb{R}$은 하우스도르프 공간이다. 왜냐하면 임의의 서로 다른 두 실수 $x, y$에 대해 $\epsilon = |x-y|/2$로 두면 $x\in(x-\epsilon, x+\epsilon), y\in(y-\epsilon, y+\epsilon)$이고 $(x-\epsilon, x+\epsilon) \cap (y-\epsilon, y+\epsilon) = \empty$이기 때문이다.

연속함수

위상수학에서 연속함수라는 것은 위상공간 $X, Y$에 대하여, 임의의 $Y$의 열린집합의 역상이 $X$의 열린집합이 되는 함수를 말한다.

동형(Homeomorphism)

위상 공간 $X, Y$가 동형 관계에 있다는 것은 $X$와 $Y$ 사이에 다음과 같은 조건을 만족하는 함수 $f: X \to Y$가 존재한다는 것을 말한다.

• $f$는 일대일 대응이다.
• $f$는 연속함수다.
• $f$의 역함수 $f^{-1}$도 연속함수다.

이때 이 함수 $f$를 위상동형사상이라 한다.

앞서 열린집합을 정의함으로써 위상공간을 정의하였다. 이때 동형 관계는 위상동형사상과 그 역사상이 모두 열린집합을 보존한다. 따라서 위상동형인 공간은 말 그대로 같은 위상을 가진다는 것을 알 수 있다.

두 집합이 동형이면 $X \cong Y$로 나타낸다.

다양체(Manifold)

다음을 만족하는 공간을 $n$차원 다양체라 한다.

1. $M$은 하나 이상의 차원을 가진 Hausdorff 공간이다.
2. $M$위의 임의의 점이 $\mathbb{R}^n$과 동형인 근방을 가진다.

차트(Chart)

다양체 $M$ 위의 차트란 $M$의 열린 부분집합 $U$와 $U$에서 $\mathbb{R}^n$으로의 위상동형사상 $\phi: U \to \mathbb{R}^n$의 쌍 $(U, \phi)$를 말한다. 미분다양체 위의 점을 $\mathbb{R}^n$의 각 성분으로 대응시키는 함수 $x^i$를 차트의 좌표함수라 한다. 즉,

$$\phi(p) = (x^1(p), x^2(p), \cdots, x^n(p))$$

좌표근방계(Atlas)

다양체 $M$ 위의 좌표근방계란 다음 조건을 만족하는 $M$ 위의 차트들의 집합을 말한다.

• 차트들의 정의역($U$)의 합집합이 $M$이다. 즉, 차트들의 정의역은 $M$의 열린 덮개를 이룬다.

매끄러운 함수(Smooth Function)

$\mathbb{R}^n$ 위의 함수 $f$가 매끄러운 함수라는 것은 $f$가 무한번 미분가능하다는 것을 말한다.

미분다양체(Differentiable Manifold)

다양체 위에 미분구조를 부여한 것을 미분다양체라 한다. 구체적으로, 다양체 $M$에 좌표근방계가 주어지고 그 좌표근방계의 임의의 두 차트 $(U, \phi), (V, \psi)$에 대해 $U \cap V \neq \emptyset$이면 $\phi \circ \psi^{-1}$가 $\mathbb{R}^n$ 위의 매끄러운 함수가 될 때 $M$은 미분다양체라 한다.

이때 이러한 함수 $\phi \circ \psi^{-1}$를 전이함수라 하며, 전이함수는 서로 다른 차트 $U$와 $V$를 $R^n$ 내의 치역으로 사상했을 때 그 사이의 사상을 정의한다.

미분다양체는 다양체와는 다르게 미분이나 매끄러운 함수를 정의할 수 있다. 미분 또는 매끄러움은 국소적 성질로, 미분다양체 위의 곡선 $f: \mathbb{R} \to M$이 매끄럽다는 것은 임의의 $t$에 대하여 $f(t)$가 포함된 차트 $(U, \phi)$가 존재하여 $\phi \circ f$가 매끄럽다는 것을 말한다.

접벡터(Tangent Vector)

접벡터는 다양한 방법으로 정의할 수 있는데, 그중 한 가지 방법은 다음과 같이 곡선을 이용하여 정의하는 것이다.

$$v = \frac{d \gamma(t)}{dt}\Bigg|_{t=0}$$

이때 $\gamma: \mathbb{R} \to M$은 $\gamma(0) = p$인 $M$ 위의 곡선이다. 이때 중요한 것은 $v$ 자체는, 미분다양체가 유클리드 공간이나 그 부분집합으로 정의된 경우가 아니라면, 유클리드 공간의 원소가 아니라는 점이다. 물론 미분다양체의 정의에 따라 이 점을 포함하도록 정의된 차트를 사용하여 $v$를 유클리드 공간의 원소로 사상할 수 있다. 그러나 $v$자체는 미분다양체 위에서 정의된 벡터이지 유클리드 공간의 원소가 아니다. 이것을 이해하는 것은 중요한데, 왜냐하면 이러한 이유로 접벡터가 미분다양체의 고유한 성질이며 차트에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있기 때문이다. 이러한 접벡터를 이용함으로써 미분을 비롯한 미분다양체의 다양한 성질이 차트의 선택과 무관하게 정의될 수 있다.

이때 이러한 접벡터의 정의를 따르면 $f(0) = g(0) = p$인 곡선 $f$와 $g$에 대하여 $f\equiv g := f'(0) = g'(0)$으로 정의되는 동치관계는 동치류를 이루며, 이 동치류는 접벡터와 일대일 대응한다. 그러므로 이 동치류, 즉 함수들의 집합을 접벡터라고 할 수도 있다.

다른 방법은 derivation(어떻게 번역해야 할지 모르겠음)을 이용하는 방법으로, 다양체 $M$ 위의 점 $p$에서 derivation $D$는 라이프니츠 룰

$$D(fg) = f(p)D(g) + g(p)D(f)$$

을 만족하는 linear map $D: (M\to \mathbb{R}) \to \mathbb{R}$으로 정의된다. 이때 접공간을 이러한 모든 derivation의 집합으로 정의하는 것이다. 여기에 다음과 같은 규칙을 주면 이 집합은 벡터공간이 된다.

$$\begin{align*} (D_1+D_2)(f) &= D_1(f) + D_2(f)\\ (\lambda D_2)(f) &= \lambda D_2(f) \end{align*}$$

이것은 엄밀하게는 $(M \to \mathbb{R})\to \mathbb{R}$ 위의 linear map이 아니라 $M$위에 주어진 결합 대수(associative algebra) 위의 linear map이다. 그러나 이것까지 따지면 너무 복잡해지므로 여기서는 간단하게 생각하기로 한다.

접공간(Tangent Space)

다양체 $M$의 점 $p$에 대한 접공간 $T_pM$은 $M$의 점 $p$에서의 접벡터들의 집합이며 $T_pM$으로 표기한다.

올다발(Fiber Bundle)

올다발은 국소적으로 두 공간을 곱한 것과 동형인 공간이다. 올다발 $E$는 다음과 같은 네 가지 요소로 정의된다.

• 베이스 공간(base space): $B$
• 올(fiber): $F$
• 사상(projection map): $\pi: E \to B$
• 올다발의 국소적 구조(local structure): $\pi^{-1}(U) \cong U \times F$

조금 더 구체적으로는 집합이 올다발이 되기 위해서는 올다발 내의 점 $x$에 대하여 $\pi(x)$를 포함하는 베이스 공간의 근방 $U$가 존재하여 $\pi^{-1}(U) \cong U \times F$를 만족해야 한다.

즉, 대략적으로 올다발 $E$는 국소적으로 $B \times F$와 동형일 뿐만 아니라, 베이스 공간 $B$의 임의의 점에 대하여 그 점을 포함하는 근방 $U$에 대해 $\pi^{-1}(U) \cong U \times F$를 항상 찾을 수 있는 공간이다.

접다발(Tangent Bundle)

다양체 $M$의 접다발은 $M$의 각 점 $p$와 그 접공간 $T_pM$으로 이루어진 올다발이며 $TM$으로 표기한다.

단면(Section)

올다발 $E$의 단면은 다음을 만족하는 함수 $s: B \to E$이다. 즉, 단면은 베이스 공간의 각 점 $b$을 올다발 $E$의 점 $s(b)$로 대응시키는 함수다.

$$\pi \circ s = \text{id}_B$$

다양체의 접다발의 단면은 다양체 위의 점을 다양체 위의 점과 그 점에 해당하는 접공간의 원소, 즉 접벡터에 대응시키는 단면의 특수한 경우다. 그러므로 다양체의 접다발의 단면은 다양체 위의 벡터장이다.

여접공간(Cotangent Space)

여접공간이란 접공간의 쌍대공간을 말하며 $T_p^*M$으로 표기한다. 그러므로 여접공간의 원소는 $M$의 점 $p$와 그 점에 대응하는 접공간 위에 정의된 선형함수로 이루어진다. 따라서 여접공간의 원소는 접공간에 대한 $(0, 1)$-텐서다.

여접다발(Cotangent Bundle)

다양체 $M$의 여접다발 또는 공변접다발은 $M$의 각 점 $p$와 그 여접공간 $T_p^*M$으로 이루어진 올다발이며 $T^*M$으로 표기한다. 즉, 여접다발의 각 점은 $M$의 점 $p$와 그 접공간 위의 선형함수로 이루어진다.

작용(Action)

미분기하에서 '작용'이란, 한 객체가 다른 객체를 또 다른 객체와 대응시키는 경우에 사용하는 추상적인 표현이다. 그러므로 맥락에 따라 그 의미가 다르며, 일반적으는 A가 B에 작용하면 C를 반환한다(얻는다)와 같이 표현한다. 예를 들어서 어떤 함수가 실수를 받아서 다른 실수를 반환하는 경우, 이것은 '함수가 실수에 작용하여 실수를 얻는다' 라고 표현할 수 있다. 또는 벡터의 길이를 반환하는 norm연산자의 경우, norm연산자는 벡터에 작용하여 스칼라를 반환한다고 표현할 수 있다. 또는 반대로 벡터가 norm 연산자에 작용하면 스칼라를 반환한다고도 표현할 수 있다.

물론 그렇기 때문에 '2는 3에 작용하여 5를 반환한다'와 같이 아무런 대응 관계를 (이 경우에는 덧셈 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$) 작용으로 표현할 수도 있으나, 미분기하에서는 앞의 norm 연산자의 예시와 같이 어떤 객체가 다른 객체의 성질을 측정하는 도구로 사용될 때 주로 작용이라는 표현을 사용하는 듯하다. (확실하지 않음)

미분형식(Differential Form)

미분다양체 $M$위에 정의된 $k$-미분형식 또는 간단하게 $k$-형식 $\omega$는 $M$의 각 점 $p$에 대해 매끄럽게 변하는 $(0,k)$-교대 텐서 $\omega_p:(T_pM)^k \to \mathbb{R}$의 집합이다.

이것은 1-형식을 살펴보면 좀 더 쉽게 이해할 수 있다. 먼저 모든 $(0, 1)$-텐서는 정의에 따라 교대 텐서이므로 교대성은 고민할 필요가 없다. 그러므로 1-미분형식은 각 점 $p$에 대해 $T_pM$위에 정의된, p에 따라 매끄럽게 변하는 선형함수의 집합이다. 이것은 다시 말해 점 $p$에 대하여 그 여접공간 $T_p^*M$의 원소를 대응시키는 함수로도 볼 수 있다. 따라서 1-미분형식은 여접다발의 단면이다.

따라서 $(T_pM)^k$위에 정의된 $k$차 교대 텐서들의 모음은 외대수의 정의에 의하여 $T_p^*M$에 외대수를 주었을 때 그중 $k$차수를 가지는 텐서의 집합이다. 그러므로 미분형식은 $M$의 여접다발 $T^*M$에 외대수를 주었을 때, 그 외대수 공간의 $k$차수 부분의 원소의 단면, 더 정확하게는 단면의 집합이 된다.

접벡터와 미분연산자

그런데 이것은 엄밀하게 정의되기는 하나, 미분에 대한 일반적인 직관과는 잘 연결되지 않는다. 예를 들어 미분다양체를 $\mathbb{R}^2$이라 하고 이 위의 1-형식을 생각해보자. 먼저 $\mathbb{R}^n$ 공간의 열린 부분집합으로 정의된 미분다양체에 대해서는 그 접공간 역시 $\mathbb{R}^n$이 되고, 따라서 여접공간 역시 $\mathbb{R}^n$이다. 그러므로 $\mathbb{R}^2$ 위의 미분형식은 단순히 $\mathbb{R}^2$ 을 $\mathbb{R}^2$에 대응시키는 매끄러운 벡터장이 된다. 이것은 일반적으로 함수의 기울기나 변화율과 관계된 미분과는 아무런 연관이 없어 보인다.

여기서 중요한 아이디어는 접벡터를 단순한 벡터가 아니라 그 방향의 방향미분 연산자로 간주하는 것이다. 앞서 접벡터는 다음과 같이 정의되었다.

$$v = \frac{d \gamma(t)}{dt}\Bigg|_{t=0}$$

이때 이 접벡터를, 다음과 같은 방식으로, 미분다양체 위에 정의된 함수 $f:M\to \mathbb{R}$에 작용하여 변화율을 반환하는 미분연산자로 간주할 수 있다. 이것은 다르게 말하면 $p$에서 $f$의 방향으로의 변화율, 즉 방향미분을 계산하는 것이다.

$$v(f) = \frac{d f(\gamma(t))}{dt}\Bigg|_{t=0}$$

앞서 언급했듯 접벡터는 차트, 즉 대응되는 유클리드 공간과 무관한 미분다양체 자체의 성질이다. 그러므로 이러한 정의는 미분다양체 위의 함수에 차트와 무관한 변화율의 정의를 제공한다.

접공간의 기저

차트 $\phi$가 주어질 때 그 차트의 좌표함수 $x^i$는 미분다양체 위에 정의된 함수로 볼 수 있다. 여기에 대하여 편미분 연산자를 다음과 같이 정의하자.

$$\frac{\partial f}{\partial x^i}(p) = \frac{\partial (f\circ \phi^{-1})}{\partial x^i}\Bigg|_{\phi(p)}\\ =\frac{\partial (f\circ \phi^{-1}(x^1, x^2, \cdots, x^n))}{\partial x^i}\Bigg|_{\phi(p)}$$

이러한 좌표함수에 대한 편미분 연산자 $\frac{\partial}{\partial x^i}$는 접벡터공간의 기저를 이루며, 이러한 미분연산자들의 선형결합으로 미분연산자의 집합을 정의할 수 있다.

물론 미분연산자, 즉 접벡터는 또한 곡선의 동치류로도 정의할 수 있다. 이러한 측면에서 함수 $f$를 $x_i$로 편미분하는 것은 다음과 같은 곡선 $\gamma_i(t)$를 정의하여 $f$에 대한 변화율을 측정하는 것으로 해석할 수 있다.

$$\gamma_i(t) = \phi^{-1}(\phi(p) + t e_i)=\phi^{-1}(x^1(p), x^2(p), \cdots, x^i(p)+t, \cdots, x^n(p))$$

즉, 접공간의 기저가 $\frac{\partial}{\partial x^i}$라는 것은 곡선 $\gamma_i(t)=\phi^{-1}(\phi(p) + t e_i)$의 동치류들이 그러한 동치관계로 정의되는 공간의 기저를 이룬다는 것과 같다.

미분형식

앞서 미분형식이란 여접다발의 매끄러운 단면이라고 하였다. 그러므로 이를 이해하기 위해서는 미분형식의 공간, 즉 여접공간의 기저를 알아볼 필요가 있다.

앞서 쌍대공간을 정의할 때 쌍대공간의 기저를 다음과 같이 정의하였다.

$$u_i(v^j) = \delta_{ij}$$

그러므로 여접공간의 기저를 $u^i$라고 하면 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$u^i\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \delta_{ij}$$

이것은 또한 어떤 미분이 다음과 같이 좌표함수에 대한 편미분 연산자의 결합으로 표현될 때, 여접공간의 기저는 각 편미분 연산자의 성분을 반환하는 함수임을 알 수 있다.

$$u^i\left(v^1\frac{\partial}{\partial x^1} + v^2\frac{\partial}{\partial x^2} + \cdots + v^n\frac{\partial}{\partial x^n}\right) = v^i$$

그러므로 여접벡터는 다음과 같이 기저의 선형결합으로 표현된다.

$$\omega = \sum_i \omega_i u^i$$

이때 미분형식이란 단순히 한 점에서의 여접벡터가 아니라 여접다발의 매끄러운 단면이라 하였다. 그러므로 각 $\omega_i$는 미분다양체 위에 정의된 매끄러운 함수여야 한다. 이것은 그러므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\omega_p = \sum_i \omega_i(p) u^i$$

이러한 미분형식은 그러므로 다음과 같이 미분연산자에 작용한다.

$$\omega_p\left(v^1\frac{\partial}{\partial x^1} + v^2\frac{\partial}{\partial x^2} + \cdots + v^n\frac{\partial}{\partial x^n}\right) = \sum_i \omega_i(p) v^i$$

일반적으로 여접공간의 기저는 $dx^i$로 표기하며, 이러한 미분형식은 다음과 같이 표현된다.

$$\omega = \sum_i \omega_i dx^i$$

그러므로 $dx$나 $dy$와 같은 것은 사실 정의상 벡터이고 여접공간의 기저이며 접벡터를 실수로 대응시키는 연산자다.

예시

전미분

함수 $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$에 대한 전미분은 다음과 같이 정의된다.

$$df = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$$

이것은 $w_i = \frac{\partial f}{\partial x^i}$로 정의된 미분형식이다. 그러므로 $df$는 미분연산자 $v=\sum_i v^i\frac{\partial}{\partial x^i}$에 대하여 다음과 같이 작용한다.

$$df(v) = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i\left(\sum_j v^j\frac{\partial}{\partial x^j}\right)$$

이때 $dx^i\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \delta_{ij}$이므로 다음과 같이 정리된다.

$$df(v) = \sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}v^i$$

즉, 전미분은 어떤 접벡터가 주어질 때 그 접벡터 방향의 변화율을 반환하는 연산자이다.

미분방정식

다음과 같은 미분방정식을 가정하자.

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

이때 $\frac{d}{dx}$를 하나의 연산자로 간주하면 아래와 같이 표현하는 것은 불가능하다.

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y) \iff dy = f(x, y)dx$$

그러나 미분형식의 엄밀한 정의에 따라 $dx$와 $dy$는 일종의 연산자임을 알고 있으므로 이러한 형식으로 표현하는 것이 이상하지 않다. 구체적으로, 여기에 어떤 미분연산자 $v=v_x\partial/\partial x + v_y\partial/\partial y$가 주어졌을 때, 위 식은 다음과 같이 작용한다.

$$\begin{align*} dy(v) = f(x, y)dx(v) &\iff dy(v_x\partial/\partial x + v_y\partial/\partial y) = f(x, y)dx(v_x\partial/\partial x + v_y\partial/\partial y)\\ &\iff v_y = f(x, y)v_x \end{align*}$$

그러므로 이 식은 미분연산자 혹은 방향벡터에 대한 제약조건이 된다.

이것을 단순히 표현의 이해가 아니라 실질적으로 유용하게 사용하려면 미분 형식과 적분의 관계, 외미분에 대해 이해해야 한다. 그러나 그것은 지금의 논의를 벗어나므로 나중에 다루기로 한다.

곡선

다음과 같은 곡선을 가정하자.

$$x^2 + y^2 -1 = 0$$

이것은 일반적인 함수 형태가 아니라 음함수의 형태이므로 일반적인 방식으로 $dy/dx$를 구할 수 없다. 그러나 이것을 미분 형식의 측면에서 생각해보자.

미분 형식의 측면에서 위와 같은 미분형식은 미분다양체 위의 접벡터를 실수로 대응하는 함수다. 앞서 접벡터는 곡선의 동치류로 정의되었으므로, 이 미분다양체 위의 곡선을 찾아야 한다. 이는 다음과 같이 간단히 찾을 수 있다.

$$\gamma_p(t) = (\cos (t+\theta), \sin (t+\theta))$$

이때 $\theta$는 $p=(\cos \theta, \sin \theta)$가 되는 값이다.

이제 이 곡선에 대한 접벡터를 구하면 다음과 같다.

$$\frac{d\gamma(t)}{dt} = (-\sin (t+\theta), \cos (t+\theta))$$

각 미분형식 $dx, dy$는 이 접벡터에 다음과 같이 작용한다.

$$\begin{align*} dx\left(\frac{d\gamma(t)}{dt}\right) &= -\sin (t+\theta)\\ dy\left(\frac{d\gamma(t)}{dt}\right) &= \cos (t+\theta) \end{align*}$$

그러므로 $dy/dx$는 다음과 같이 계산된다.

$$\frac{dy}{dx}(\frac{d\gamma(t)}{dt}) = \frac{\cos (t+\theta)}{-\sin (t+\theta)} = -\frac{p_x}{p_y}$$

이는 (한 점에 대해서는) 접벡터의 선택과 무관하게 상수이므로 간단히 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{p_x}{p_y} \Bigg|_p$$

결론

수학에서 $dx$, $dy$와 같은 추상적인 기호들이 엄밀하게 어떻게 정의되는지를 살펴보았다. 이것은 미분 형식이라 불리며 미분다양체 위에서 공변접다발의 매끄러운 단면으로 정의되는 일종의 연산자로, 어떤 미분다양체의 한 점에서의 접벡터가 주어졌을 때 그 접벡터로부터 특정 축 방향의 변화율을 반환하는 역할을 한다.

일반적인 곡선에서 $dy/dx$는 한 점에서 어떤 접벡터를 가져오더라도 같은 값을 반환하므로 이것은 실수처럼 쓸 수 있었던 것이고, 전미분 $df=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$는 접벡터의 선택에 따라 그 값이 달라지므로 하나의 수로 정할 수 없고 위와 같이 표현한 것임을 이해할 수 있다.